Finite Difference Approximations of Various Steklov Eigenvalue Problems
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2022
Tezin Dili: İngilizce
Öğrenci: MÜCAHİT ÖZALP
Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): Canan Bozkaya
Eş Danışman: Önder Türk
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Bu tezde, tanım bölgesinin tamamında ya da bir kısmında spektral parametrenin varlığı ile karakterize edilen, farklı şekilde tanımlanan Steklov özdeğer problemlerini (ÖDP) nümerik olarak çözmek için sonlu farklar yönetimi (SFY) kullanılmıştır. Steklov ÖDPde diferansiyel operatör Laplace opetatörü olduğundan, Laplace ÖDPnin SFY yaklaşımı da ele alınmıştır. SFYnin temelleri verilmiş ve Laplace operatörünü içeren bazı sınır değer problemleri üzerindeki uygulamaları tartışılmıştır. Taylor seri açılımları kullanılarak fonksiyonların türevleri için yaklaşım formülleri, değişen doğruluk dereceleri ile birlikte verilmiştir. SFY formülasyonumuzu doğrulamak için ilk önce, ikinci ve dördüncü mertebeden formüller, Poisson problemi ve Laplace ÖDP gibi analitik çözümleri bilinen iki test probleminin yaklaşık çözümünü elde etmek için kullanılmıştır. SFY çözümlerinin gerçek çözümler ile iyi bir şekilde uyuştuğu ve dördüncü mertebe şemasından elde edilen sonuçların ikinci mertebeden elde edilenlerden daha üstün olduğu gösterilmiştir. İkinci olarak, farklı sınır koşullarına sahip iki Steklov özdeğer problemleri ele alınmıştır. İlk olarak, tüm sınırda bir spektral parametre içeren karma tip sınır koşuluna sahip standart Steklov ÖDP analiz edilmiş, ikinci problemde ise, bölge sınırı iki bölüme ayrılmıştır; öyle ki sınırın bir bölümü Neumann tipi sınır koşuluna diğer bölümü ise spektral sınır koşuluna sahiptir. Yazarların bilgisi dahilinde, farklı dereceden fark formülleri kullanılarak Steklov özdeğer problemlerinin ayrıklaştırılması ilk kez yapılmıştır. Yaklaşık ve gerçek özfonksiyonlar arasındaki uyum eşyükselti eğrileri kullanılarak gösterilmiş ve yaklaşık özdeğerlerin referans özdeğerlere yakınsama oranı verilmiştir. Sadece diferansiyel denklem için değil, aynı zamanda sınır koşulları için de daha yüksek mertebeden sonlu fark yaklaşımlarının kullanılmasıyla- en az ikinci mertebeden- yakınsama hızının arttığı gözlenmiştir. Sonuç olarak, hem diferansiyel operatörüne hem de beraberindeki sınır koşullarına dördüncü mertebeden sonlu fark formüllerinin uygulanmasıyla, ikinci dereceden bir yakınsaklığın nasıl elde edilebileceği bu çalışmada gösterilmiştir.