Second order numerical methods for Navier-Stokes and Darcy-Brinkman equations
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2022
Tezin Dili: İngilizce
Öğrenci: MEDİNE DEMİR
Danışman: SONGÜL KAYA MERDAN
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Bu tezde, Navier-Stokes denklemleri tarafından yönlendirilen sıkıştırılamaz, viskoz akı¸skan akışına ve çift-yayılımlı taşınım tarafından yönlendirilen Darcy-Brinkman denklemlerine yaklaşık çözümler bulmak için ikinci mertebeden, verimli ve güvenilir sayısal stabilizasyon yöntemleri ele alınmıştır. Standart Galerkin sonlu elemanlar yöntemi, çözümde sayısal kararsızlıklar ve fiziksel olmayan salınımlar gibi bazı problemler yarattığı için bu karmaşık doğrusal olmayan denklemleri doğru bir şekilde çözmek için yetersiz kalmaktadır. İyi bir sayısal algoritma, çok fazla hesaplama çabası gerektiren bu problemlerden kaçınmak için çözümdeki tüm ölçekleri çözmelidir. Bu nedenle, akışın doğru fiziksel davranışını sergileyen ve sonlu bir zaman aralığında çözümlere doğru şekilde yakla¸şan uygun ve verimli sayısal algoritma geliştirmek, hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde büyük bir zorluk olarak devam etmektedir. İlk olarak, bu tez sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerini modellemek için bir alt ızgara yapay viskozite yöntemini doğrusal ekstrapolasyonlu BDF2 zaman ayrıklaştırması ile birlikte kullanarak sayısal bir şema önerir, test eder ve analizini yapar. Yöntem, viskoz terimini, girdap ve grad-div stabilizasyon terimlerinin birleşimi olarak ele alır. Bu alt ızgara yapay viskozite yöntemi, bir terim ekleyerek global stabilizasyonu tanıtır, ardından ekstra karışık değişkenler aracılığıyla yayılmayı önler. Yöntemin hem enerji hem de sarmallık dengesi dahil olmak üzere koruma yasalarının ayrıntılı analizini gösterilir. Ayrıca yöntemin ürettiği yaklaşık çözümlerin koşulsuz, kararlı ve optimal yakınsak olduğu da gösterilir. Elde edilen teorik sonuçları desteklemek ve doğrulamak için çeşitli sayısal testler sunulmuştur. İkinci olarak, bu tez zayıf zorlanmış divergens kısıtlaması durumunda, sıkıştırılamaz, zamana bağlı Navier-Stokes denklemlerinin enerji-momentum-açısal momentum koruyucu (EMAC) formülasyonu geliştirilen model için geri-Euler tabanlı doğrusal zaman filtreleme yöntemini ele alır. Yöntem ile bu formülasyona doğruluğu artırmak ve yaklaşık çözümleri geliştirmek için bir işlem sonrası adım olarak zaman filtreleme ekler. Geri-Euler tabanlı EMAC formülasyonu ile herhangi bir filtre içermeyen formülasyon karşılaştırmalı olarak gösterilir, önerilen yöntem yalnızca 2 adımlı, koşulsuz kararlı ve ikinci dereceden doğru yöntem değil, aynı zamanda çözümlerin sayısal doğruluğunu da arttıran bir yöntemdir. Sayısal çalışmalar teorik bulguları doğrular ve önerilen yöntemin filtrelenmemiş duruma göre üstünlüğünü gösterir. Üçüncü olarak, bu tez verimli, doğru, etkili ve koşulsuz olarak kararlı bir zaman adımı şemasını çift yayılmalı taşınmada Darcy-Brinkman denklemleri için çalışır. Önerilen yöntemdeki stabilizasyon hız, sıcaklık ve konsantrasyon denklemleri için eğriliği stabilize etme fikrini kullanır. Zamandaki doğruluğu kanıtlanmıştır ve problem değişkenlerinin tamamen ayrık çözümleri için yakınsama sonuçları verilmiştir. Elde edilen teorik sonuçları destekleyen ve yöntemin etkinliği ve doğruluğunu ortaya koyan, yakınsama çalışması dahil olmak üzere çeşitli sayısal örnekler sunulmuştur.