On PIR Schemes from nD-Cyclic Codes and the Schur Product of some Algebraic Codes

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Enstitüsü, Kriptografi Anabilim Dalı, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2026

Tezin Dili: İngilizce

Öğrenci: BURCU ECEM KARAKAŞ

Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): Buket Özkaya

Eş Danışman: Ferruh Özbudak

Özet:

Özel Bilgi Erişimi (ÖBE) şemaları, bir veritabanından veri alınırken talep edilen bilginin kimliğine ilişkin herhangi bir ayrıntının açığa çıkmamasını amaçlamaktadır. İşbirliği yapan sunuculara sahip kodlanmış depolama sistemleri için ÖBE şemalarında, depolama ve sorgulama kodlarının geçişli otomorfizma gruplarına sahip olması daha yüksek ÖBE oranları sağlamaktadır. Bu çalışmada, n-boyutlu devirsel kodların geçişlilik özellikleri incelenmekte ve bu kodlardan elde edilen ÖBE şemaları, daha yüksek ÖBE oranları sağlayan nD-devirsel kod örnekleri ile birlikte ele alınmaktadır. Ardından, nD-devirsel kodlar ile belirli nD-sabitli-devirsel kodlar arasındaki monomiyal eşdeğerlik gösterilmekte ve bu kodlar geçişli kodlar için alternatif bir aile olarak önerilmektedir. nD-devirsel kodların sanki-devirsel kodların özel bir türü olduğu bilinmektedir. Sanki-devirsel kodlarla yakından ilişkili olan bir diğer kod ailesi ise toplamsal devirsel kodlardır. Bu bağlamda, sanki-devirsel kodlarla yakından ilişkili olan toplamsal devirsel kodların Schur çarpımı farklı gösterimler kullanılarak ele alınmakta ve bu kodların cebirsel özellikleri incelenmektedir. Özellikle, indisleri 2 ve 3 olan toplamsal devirsel kodlar için Schur çarpımına ait açık bir polinom üreteç matrisi verilmekte ve bu sonuçlar iz gösterimi cinsinden keyfi indisler için genişletilmektedir. Buna ek olarak, devirsel kodlar için bilinen BCH, HT ve Hasse–Weil sınırları genişletilerek, toplamsal devirsel kodların Schur çarpımının uzaklık özellikleri incelenmektedir.