TEKİLLİKLERİ SADECE BOĞUMLAR OLAN LİFLENMİŞ YÜZEYLERE KARŞILIK GELEN HAS MULTİNETLER

Suluyer H.

16. Ankara Matematik Günleri, Ankara, Türkiye, 19 - 20 Haziran 2025, ss.94, (Özet Bildiri)

Yayın Türü: Bildiri / Özet Bildiri
Basıldığı Şehir: Ankara
Basıldığı Ülke: Türkiye
Sayfa Sayıları: ss.94
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Orta Doğu Teknik Üniversitesi Adresli: Evet

Bir (k, d)-multinet, CP^2 içindeki katlılıklara sahip doğruların ve noktaların özel bir konfigürasy-

onudur. Multinetler, karma¸sık bir doğru ayarlamasının tümleyeninin rezonans çokluklarını anlamak

için önemli bir araçtır. Eğer bir multinet aynı zamanda bir net değilse, bir ba¸ska deyi¸sle en az

bir katlı doğru ya da noktaya sahipse, o multinet has bir multinet oluyor. 2009 yılında Yuzvinsky,

bir (k, d)-multinetinin k değerinin en çok 4 olduğunu ve bu multinet has (proper) olduğunda bu

değerin 3 e eşit olacağını kanıtlanmıştır. Dolayısıyla, tüm has multinetler için k = 3. Has multi-

netler hakkında sınırlı sayıda örnek biliniyor. Tüm çift dereceliler için bilinen örnek, her d > 2 için

Q = [x^d(y^d − z^d)][y^d(x^d − z^d)][z^d(x^d − y^d)] polinomunun oluşturduğu has bir (3, 2d)-multinettir.

Asıl problemimiz, en az bir katlılıklı doğruya sahip multinetlerin tek derecelerde (yani 2d + 1 için)

mümkün olamayacağıdır.

Her bir (k, d)-multinet CP^2 de k tanesi tamamen indirgenebilir olan d dereceli eğrilere sahip bir

dergeye (pencil) denk gelir. CP^2 yi bu dergenin pivotlarından patlattıktan sonra doğal bir liflenmesi

olan karmaşık bir S yüzeyini elde ederiz. S nin tekil lifleri boğumdan farklı tekilliklere sahip ola-

bileceğinden, boğum indirgemesi yoluyla tüm bu tekillikleri boğumlara indirgeyebiliriz. Böylelikle,

multinetlere kar¸sılık gelen ve sadece liflerinde tekillik olarak boğumları olan CP^1 üzerinde liflenmiş

bir yüzey elde ederiz.

Bu konuşmamızda, tamamen indigenebilir eğrilere karşılık gelen lifler dışındaki tekilliği sadece

boğumlar olan S yüzeyine denk gelen has multinetlerle ilgileneceğiz. Boğum indirgemesiyle tüm

tekil liflerdeki tekillikleri boğum yapıp, bu boğumları sayacağız. Sonuçlar, bu yüzeylerin tekil

liflerindeki boğumların sayısını kullanarak bazı derecelerde has multinetler üzerinde kombinatorik

kısıtlamalar elde edilebileceğini gösteriyor.

$A (k,d)-multinet is a special configuration of lines with multiplicities and points in CP^2. Multinets are important tools for understanding the resonance varieties of the complement of a complex line arrangement. If a multinet is not also a net—that is, if it has at least one line or point with multiplicity—then it is called a proper multinet. In 2009, Yuzvinsky proved that the value of k for a (k,d)-multinet is at most 4, and if the multinet is proper, then k=3. Therefore, all proper multinets must have k=3.$

Only a few number of examples of proper multinets are known. For all even degrees, a known example is the proper (3,2d)-multinet given by the polynomial Q = [x^d(y^d - z^d)][y^d(x^d - z^d)][z^d(x^d - y^d)] for every d>2. Our main problem is that multinets with at least one line of multiplicity are conjectured not to exist for odd degrees (that is, for degrees 2d+1).

Each (k,d)-multinet corresponds to a pencil in CP^2 consisting of k completely reducible curves of degree d. After blowing up CP2 at the base points of this pencil, we obtain a complex surface S with a natural fibration. Since the singular fibers of S may have singularities beyond just nodes, we can apply nodal reduction to simplify all these singularities into nodes. In this way, we obtain a surface fibered over CP^1 whose only singularities in the fibers are nodes, corresponding to the multinet.

In this talk, we focus on proper multinets corresponding to surfaces $S$ where the only singularities in the fibers (except for those corresponding to completely reducible curves) are nodes. By applying nodal reduction to all singular fibers and counting the resulting nodes, our results show that one can derive combinatorial restrictions on proper multinets in certain degrees based on the number of nodes in the singular fibers of these surfaces.