Akademik Veri Yönetim Sistemi
YAZICI Ö. (Yürütücü), KİŞİSEL A. U. Ö.
TÜBİTAK Projesi, 1001 - Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Projelerini Destekleme Programı, 2024 - 2027
Çoklu potansiyel teorisi, alt harmonik fonksiyonları inceleyen, çok değişkenli kompleks fonksiyonlar teorisinin bir dalıdır. Son yıllarda, çoklu potansiyel teorisinin, kompleks geometri ve kompleks dinamik çalışmalarına birçok uygulaması olduğu görülmektedir. Bu çalışmalarda, potansiyel teorinin yapı taşlarından olan \textit{Akım (Current)} lar büyük rol oynamıştır. Akımların dış çarpımlarını kullanarak analitik fonksiyonların etkisiyle değişmeyen ölçümler tanımlamak mümkündür. Bu tip ölçümler, kompleks dinamik çalışmalarında maksimal entropiyi veren ölçümleri bulmak için kullanılır. Ayrıca, tek boyutta Dirichlet probleminin benzerini çok boyutta çözebilmek için akımların dış çarpımından yararlanılır. Herhangi iki akımın dış çarpımı, tekil noktalarının ötesinde iyi olarak tanımlanabilir.
Akımlar, analizin temel alanlarından biri olan Yaklaşım Teorisi ile de yakından ilişkilidir. Alt harmonik fonksiyonlara ve akımlara yakınsayan düzgün (tekilliği olmayan) fonksiyon ve akım dizileri oluşturmak oldukça önemli bir problemdir. Akımların tekil kümeleri küçük olduğunda, bu tür yaklaşımlar yapılabilmektedir.
Bu nedenlerle akımların tekilliklerinin geometrisini bilmemiz önemlidir. Tekilliği ölçmenin en bilinen yolu Lelong sayılarıdır. Akım doğal olarak bir Radon ölçümü tanımlar. Kabaca, bir noktadaki Lelong sayısı, bu ölçümün o noktadaki yoğunluğu olarak tanımlanabilir. Lelong sayısı herhangi bir pozitif $\alpha$ sayısından büyük olan noktaların oluşturduğu kümenin (\textit{$\alpha$-üst sınır kümesi}) analitik bir varyete olduğu bilinmektedir bkz Siu (1974). $\alpha$ yeteri kadar büyük olduğunda, üst sınır kümelerinin kompleks doğru, konik ve kübikler üzerinde kaldığı bilinmektedir bkz Coman (2005), Kişisel ve Yazici (2022).
Bu projede, öncelikle, $2$ boyutlu projektif uzay $\mathbb P^2$'de, daha küçük $\alpha$ değerleri için üst sınır kümelerinin geometrisini inceleyeceğiz. Bu amaçla, sıfıra yakınsayan $\alpha\approx \frac{1}{d}$ değerleri için, üst sınır kümelerinin $d$ dereceli eğriler üzerinde kaldığını göstermeye çalışacağız. Böyle bir sonucu elde etmek için belli noktalarda tekillikleri büyük olan alt harmonik fonksiyonlar oluşturmamız gerekecek. Bunun için polinomlardan yararlanacağız. Polinomları kullanarak oluşturacağımız akımların dış çarpımlarının iyi tanımlı olabilmesi için, polinomların ortak çarpanlarının olmaması gerekir. Bu problemde oluşturmamız gereken polinomlar yüksek dereceli olacağından, ortak çarpanları incelemek oldukça zor olacaktır. Bu nedenle, alternatif bir method olarak \textit{Türetilmiş (Derived) Geometrinin} araçlarını kullanmayı düşünüyoruz. Türetilmiş geometriyi potansiyel teoriye uygulayabilirsek, bu tamamen yenilikçi bir yaklaşım ve kendi başına önemli bir sonuç olacaktır.
Projenin devamında, daha yüksek boyutlarda $(\mathbb P^n, \; n\geq 3)$, akımların $\alpha$-üst sınır kümelerini inceleyeceğiz. Üst sınır kümelerini çeşitli düzlemlerle keserek problemi düzleme $(\mathbb P^2)$ indirgemeye çalışacağız. Kişisel ve Yazici (2022) makalesinde düzlemde daha önce kübikler için elde ettiğimiz sonuçları ve daha genel eğriler için elde edeceğimiz yukarıda bahsettigimiz sonuçları kullanarak hedefe ulaşmayı planlıyoruz.
Son olarak, çoklu projektif uzaylarda $(\mathbb P^{n_1}\times \dots \mathbb P^{n_k})$ akımların $\alpha$-üst sınır kümelerini inceleyeceğiz. $\alpha$ yeteri kadar büyükken, $\alpha$-üst sınır kümelerinin projeksiyonlarının doğrusal alt uzaylar üzerinde kaldığı bilinmektedir bkz Coman ve Heffers (2020). Daha küçük $\alpha$ değerleri için, $\alpha$-üst sınır kümelerinin geometrik karakterizasyonunu, konik, kübik ve daha yüksek dereceli eğriler kullanarak elde etmeyi planlıyoruz. Çoklu projektif uzaylarda, projeksiyonlar yardımıyla, problemi projektif uzay $\mathbb P^n$ üzerine indirgeyebiliriz. $\mathbb P^n$ üzerindeki akımlar için bu proje kapsamında yapacağımız çalışmaları kullanarak, çoklu projektif uzaylarda $\alpha$-üst sınır kümelerini karakterize edebiliriz.
Bu projenin 36 ay sürmesi planlanmıştır. Bir araştırmacı (Doç. Dr. Özgür Kişisel), bir yüksek lisans öğrencisi bursiyer, bir doktora öğrencisi bursiyer ve bir doktora sonrası araştırmacının görev alması beklenmektedir. Proje, bu yönüyle, matematik alanında yüksek lisans/doktora yapan öğrencilerin ve doktorasını yeni tamamlamış araştırmacıların kariyer gelişimine katkı sağlayacaktır. Elde edeceğimiz sonuçları, çeşitli ulusal-uluslararası konferanslarda sunarak ve saygın dergilerde yayınlayarak, bilginin yayılımı sağlanacaktır.