Real zeros of random modular forms

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2024

Tezin Dili: İngilizce

Öğrenci: RECEP ÖZKAN

Danışman: Ali Ulaş Özgür Kişisel

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Modüler formlar Cebirsel Geometri, Sayılar Teorisi ve Uygulamalı Kriptografi gibi birçok alanda oldukça önemli bir ilgi alanı olmuştur. Bu özel fonksiyonlar, modern matematik ve geometride çeşitli uygulamaların ortaya çıktığı çok önemli ve ilginç aritmetik ve geometrik özelliklere sahiptir. Modüler formların bir temel bölge üzerindeki sıfırlarının sayısını hesaplamak ve dağılım davranışlarını bulmak, modüler formların tüm özellikleri arasında en önemlileri olarak durmaktadır. Bu çalışmanın temel odağı, bu probleme, standart normal değişkenler ve sözde rastgele modüler formları tanımlamakta kullanılan uç formların taban elemanları kullanılarak, olasılıksal bir yaklaşımla saldırmak olacaktır. Bu amaçla, önce modüler formların temel tanımlarını ve özelliklerini verdikten sonra, z nin sanal kısmı sonsuza giderken sıfıra eşit olan modüler formlar olarak tanımlanan ve sonlu boyutlu modüler formların bir altuzayını oluşturan uç formları tanıtacağız. Sonrasında, k ağırlığındaki uç formlar vektör uzayının taban elemanlarını ve bağımsız özdeş dağılımlı reel rastgele değişkenleri kullanarak rastgele bir modüler form oluşturuyoruz. Daha sonra ise, rastgele modüler formlar için Crofton formülünü uyarlayarak, temel bir bölge üzerindeki bazı belirli jeodezik parçalar üzerindeki sıfırlar olarak tanımlanan reel sıfırların beklenen sayısını etmeye çalışyoruz. Sonunda k ağırlığındaki rastgele bir modüler formun beklenen reel sıfır sayısı için bir formül elde edip bu sayının infimumu için bir üst sınır veriyoruz.